Exemple de fonction homogène

Supposons que (y = UX, ) où (u ) est une nouvelle fonction en fonction de (x. Le logarithme naturel f (x) = ln x {displaystyle f (x) = ln x} évolue additivement et n`est donc pas homogène. Plus précisément, Let g (α) = f (α x) {displaystyle textstyle g (alpha) = f (alpha mathbf {x})}. Par conséquent, l`équation différentielle d`origine est également homogène. Et remarquez que x et y ont des pouvoirs différents: x3 mais Y2 qui, pour les fonctions polynomiales, est souvent un bon test. La valeur de n est appelée le degré. L`inverse tient en intégrant. Ainsi, si f est homogène de degré m et g est homogène de degré n, alors f/g est homogène de degré m − n loin des zéros de g. Par exemple, supposons que x = 2, y = 4 et t = 5. Supposons que la fonction ƒ: RN {0} → R soit continuellement différenciable. La fonction f (x, y) = x 2 + y 2 {displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}} est homogène du degré 2: f (t x, t y) = (t x) 2 + (t y) 2 = t 2 (x 2 + y 2) = t 2 f (x, y). Ceci peut être démontré avec les exemples suivants: f (5 x) = ln 5 x = ln 5 + f (x) {displaystyle f (5x) = ln 5x = ln 5 + f (x)}, f (10 x) = ln 10 + f (x) {displaystyle f (10x) = ln 10 + f (x)} et f (15 x) = ln 15 + f (x) {displaystyle f (15x) = ln 15 + f ( x)}. La polarisation est définie par: g (v 1, v 2,…, v n) = 1 n! La constante k est appelée le degré d`homogénéité.

Ainsi, dans cet exemple, le degré est 1. Vn. Il s`ensuit que le n-ème différentiel d`une fonction ƒ: X → Y entre deux espaces de Banach X et Y est homogène de degré n. Le résultat découle du théorème d`Euler en commutant l`opérateur x ⋅ ∫ {displaystyle mathbf {x} cdot nabla} avec la dérivée partielle. Lors de la division par (x, ) nous pourrions perdre la solution (x = 0. Dans le cas particulier des espaces vectoriels sur les nombres réels, la notion d`homogénéité positive joue souvent un rôle plus important que l`homogénéité dans le sens ci-dessus. Ainsi, g ′ (α) − k α g (α) = 0 {displaystyle textstyle g` (alpha)-{frac {k} {alpha}} g (alpha) = 0}. Inversement, si F a une caractéristique zéro, alors donné un polynôme homogène ƒ de degré n sur V, la polarisation de ƒ est une fonction multilinéaire g: V × V ×. Cette équation peut être résolue à l`aide d`une approche par facteur d`intégration, avec la solution f (x) = c x k {displaystyle textstyle f (x) = CX ^ {k}}, où c = f (1) {displaystyle c = f (1)}. Des fonctions positivement homogènes sont caractérisées par le théorème de la fonction homogène d`Euler. En mathématiques, une fonction homogène est l`une avec un comportement d`échelle multiplicatif: si tous ses arguments sont multipliés par un facteur, alors sa valeur est multipliée par une certaine puissance de ce facteur.

Il est facile de voir que les polynômes (Pleft ({x, y} right) ) et (Qleft ({x, y} right), ) respectivement, à (DX ) et (dy, ) sont des fonctions homogènes du premier ordre. Le degré est la somme des exposants sur les variables; dans cet exemple, 10 = 5 + 2 + 3. Mais toutes les fonctions ne sont pas des polynômes. Supposons que (*) détient. Les fonctions rationnelles formées comme le rapport de deux polynômes homogènes sont des fonctions homogènes hors du cône affiné découpé par le locus zéro du dénominateur. De même, toute fonction multilinéaire ƒ: v1 × v2 ×.

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